Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точкой касания большую боковую сторону на отрезки 3 см и 12 см. Найти радиус вписанной окружности, если периметр трапеции равен 54 см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольной трапеции и окружности, вписанной в неё.

Обозначим:

• $a$ — длина меньшей основания трапеции,

• $b$ — длина большего основания,

• $c$ — длина боковой стороны, которая равна гипотенузе прямоугольного треугольника,

• $h$ — высота трапеции,

• $r$ — радиус вписанной окружности.

Сначала определим длину боковой стороны трапеции. Пусть эта сторона делится точкой касания на два отрезка длиной 3 см и 12 см. Это значит, что длина боковой стороны равна $3 + 12 = 15$ см.

По свойствам трапеции, если в неё вписана окружность, то разность длин оснований равна разности длин боковых сторон, то есть:

Таким образом, разница между основаниями равна 15 см.

Теперь использую информацию о периметре трапеции. Периметр трапеции равен сумме всех её сторон, то есть:

Заменим значения периметра и боковых сторон:

Решаем это уравнение:

Теперь у нас есть система уравнений:

1. $b - a = 15$,

2. $a + b = 24$.

Решим эту систему. Из первого уравнения выразим $b$ через $a$:

Подставим это в второе уравнение:

Теперь найдём $b$:

Теперь, зная $a$, $b$ и $c$, найдём радиус вписанной окружности. Для этого используем формулу радиуса вписанной окружности в трапецию:

где $S$ — площадь трапеции, а $p$ — полупериметр.

Площадь трапеции можно найти по формуле:

где $h$ — высота трапеции. Высоту можно выразить через боковую сторону и основания с использованием теоремы Пифагора. Но для этого нам достаточно того, что полупериметр трапеции равен:

Теперь, используя формулу для радиуса:

Ответ: