В прямоугольном параллелепипеде стороны основания относятся как 7:24, а площадь диагонального сечения равна 50. Найдите площадь боковой поверхности.

Для решения задачи нужно использовать геометрические свойства прямоугольного параллелепипеда и его диагональных сечений.

Обозначим размеры основания параллелепипеда как $7x$ и $24x$, где $x$ — некоторая переменная. Стороны параллелепипеда, которые выходят из этих сторон основания, обозначим как $h$.

1. Площадь диагонального сечения:
   Диагональное сечение прямоугольного параллелепипеда — это сечение, проходящее через три его вершины, не лежащие на одной плоскости. В данном случае диагональ сечения будет образована двумя сторонами основания и высотой.

   Площадь диагонального сечения можно найти по формуле площади треугольника, если мы знаем длины сторон и угол между ними. Однако, проще воспользоваться известным результатом для прямоугольного параллелепипеда: площадь диагонального сечения, которое проходит через две стороны основания и высоту, вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{диагональное сечение}} = \sqrt{(7x)^2 + (24x)^2 + h^2}$$

   По условию задачи, площадь диагонального сечения равна 50, поэтому получаем уравнение:

   $$\sqrt{(7x)^2 + (24x)^2 + h^2} = 50$$

   Возведем обе части уравнения в квадрат:

   $$(7x)^2 + (24x)^2 + h^2 = 2500$$ $$49x^2 + 576x^2 + h^2 = 2500$$ $$625x^2 + h^2 = 2500$$

2. Нахождение площади боковой поверхности:
   Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда равна сумме площадей четырех прямоугольных боковых граней. Площадь каждой из таких граней равна произведению одной из сторон основания на высоту $h$. Таким образом, площадь боковой поверхности будет равна:

   $$S_{\text{боковая поверхность}} = 2 \cdot (7x \cdot h + 24x \cdot h)$$ $$S_{\text{боковая поверхность}} = 2h(7x + 24x)$$ $$S_{\text{боковая поверхность}} = 2h \cdot 31x$$

3. Решение системы уравнений:
   Из уравнения для диагонального сечения мы имеем:

   $$625x^2 + h^2 = 2500$$

   Это можно переписать как:

   $$h^2 = 2500 - 625x^2$$

   Таким образом:

   $$h = \sqrt{2500 - 625x^2}$$

4. Нахождение значения $x$:
   Площадь диагонального сечения также выражается через сторону основания и высоту. Чтобы найти точное значение боковой поверхности, нужно решить систему уравнений, подставив значение для $x$.