Докажите, что в трапеции биссектрисы двух углов при одной боковой стороне перпендикулярны.

Для доказательства того, что в трапеции биссектрисы двух углов, образованных одной боковой стороной, перпендикулярны, будем рассматривать трапецию с основаниями $AB$ и $CD$ (где $AB \parallel CD$), а боковой стороной $AD$ (или $BC$).

1. Обозначения и начальные данные:
   Пусть $AB \parallel CD$ — это основания трапеции. Боковые стороны $AD$ и $BC$ могут быть неравными, но одна из них будет перпендикулярна линии основания трапеции. Пусть биссектрисы углов $\angle DAB$ и $\angle DCB$ пересекаются в точке $P$.

2. Теорема о биссектрисах углов:
   В трапеции, как и в других многоугольниках, биссектрисы углов, образованных одной из боковых сторон (например, $AD$ или $BC$), всегда пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется точкой равновесия или точкой, в которой одна из биссектрис пересекает другую. Важно отметить, что в трапеции углы на одной боковой стороне всегда равны.

3. Равенство углов:
   Углы $\angle DAB$ и $\angle DCB$ равны по определению, так как они образованы одной боковой стороной. Это означает, что их биссектрисы будут пересекаться и образовывать прямой угол между собой.

Таким образом, поскольку обе биссектрисы пересекаются в точке, образуя прямой угол, мы можем заключить, что биссектрисы углов, образованных одной боковой стороной, в трапеции всегда перпендикулярны.