В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, CH — высота, ВС=8, синус угла А равен 0,5. Найти BH.

В данном треугольнике $ABC$ угол $C$ равен 90 градусов, то есть треугольник прямоугольный, $CH$ — высота, проведённая из вершины $C$ на гипотенузу $AB$, а $BC = 8$ и $\sin A = 0.5$. Нам нужно найти длину отрезка $BH$.

Шаг 1. Определим стороны треугольника

Из условия задачи известно, что $\sin A = 0.5$. Напоминаем, что синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. В нашем случае:

Заменим известные величины:

Отсюда находим гипотенузу $AB$:

Таким образом, длина гипотенузы $AB = 16$.

Шаг 2. Используем свойство высоты

Высота $CH$ в прямоугольном треугольнике делит гипотенузу на два отрезка — $AH$ и $BH$, причём выполняется следующее соотношение:

Подставим известные значения:

Шаг 3. Найдем длину $AH$

Для нахождения $AH$ используем теорему о синусах в прямоугольном треугольнике. Мы знаем, что $\sin A = \frac{BC}{AB} = 0.5$, а также можем использовать отношение для косинуса угла $A$:

Так как $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$, то из этого можно найти $\cos A$:

Теперь вычислим длину катета $AC$ с помощью $\cos A$:

Шаг 4. Решение через площади

Площадь треугольника $ABC$ можно выразить двумя способами: через катеты и через гипотенузу с высотой.

Площадь треугольника через катеты:

Площадь через гипотенузу и высоту:

Приравняем оба выражения для площади: