3. Плоскости α и β параллельны. Через точку O, взятую между плоскостями α и β, проведены две пересекающиеся прямые a и b. Прямая a пересекает плоскость α в точке A, плоскость β – в точке A1, а прямая b пересекает плоскость α в точке B, плоскость β – в точке B1. OA : OA1 = 2 : 3, AB = 10. Вычислите A1B1.

Так как плоскости α и β параллельны, для любой прямой через O отношение расстояний от O до их точек пересечения постоянно и равно отношению перпендикулярных расстояний от O до плоскостей. Значит для любых X∈α и X₁∈β на одной прямой OX:OX₁ = d(O,α):d(O,β), и это же отношение равно OA:OA₁.

Дано OA:OA₁ = 2:3 ⇒ коэффициент гомотетии с центром в O, переводящей α в β, равен k = OA₁/OA = 3/2. При этой гомотетии отрезок AB (в α) переходит в A₁B₁ (в β), а длины масштабируются в k раз:

A₁B₁ = k·AB = (3/2)·10 = 15.