Даны точки А(0; 0), В(1; -1), С(4; 2). Найдите скалярное произведение векторов ВС и АС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

Вычислю векторы:

• $\vec{BC}= \overrightarrow{C}-\overrightarrow{B}=(4-1,\;2-(-1))=(3,3)$.

• $\vec{AC}= \overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}=(4-0,\;2-0)=(4,2)$.

Скалярное произведение:

Теперь проверю, прямоугольный ли $\triangle ABC$. Достаточно показать перпендикулярность двух его сторон, исходящих из одной вершины. Возьмём $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$:

Их скалярное произведение

Значит, $\vec{AB}\perp \vec{BC}$, то есть угол $ABC$ равен $90^\circ$, и треугольник $ABC$ — прямоугольный (прямой угол в вершине $B$).

Для полноты можно проверить по Пифагору:
$|AB|^2=1^2+(-1)^2=2,\quad |BC|^2=3^2+3^2=18,\quad |AC|^2=4^2+2^2=20$, и действительно $2+18=20$.