Отношение гипотенузы прямоугольного треугольника к проведённой к ней медиане равно 2.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при $C$. Пусть $AB=c$ — гипотенуза, а $M$ — середина гипотенузы (то есть медиана $CM$ проведена к $AB$).

Доказательство 1 (геометрическое).
Середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех трёх вершин. Действительно, $MA=MB$ по определению середины, а так как $\angle ACB=90^\circ$, то точка $C$ лежит на окружности с диаметром $AB$ (теорема Фалеса). Центром этой окружности является $M$, следовательно, $MC=MA=MB=\dfrac{AB}{2}$. Отсюда

Доказательство 2 (через формулу медианы).
Длина медианы к стороне $c$ выражается формулой

В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора $a^2+b^2=c^2$, значит

Следовательно, $\dfrac{c}{m_c}=2$.

Итак, отношение гипотенузы к проведённой к ней медиане равно $2$ (и это верно для любого прямоугольного треугольника).