Докажите, что диаметр окружности больше любой хорды, отличной от диаметра.

Пусть $O$ — центр окружности радиуса $R$, а $AB$ — хорда, не являющаяся диаметром. Опустим из $O$ перпендикуляр на $AB$, пусть он пересекает её в точке $M$. Известно, что перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам, значит $AM=MB=\tfrac{1}{2}AB$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAM$. В нём гипотенуза $OA$ равна $R$, а катеты — $OM$ и $AM$. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого катета, следовательно

Умножая на 2, получаем

Но $2R$ — это диаметр окружности. Значит, длина любой хорды, отличной от диаметра, строго меньше диаметра. Что и требовалось доказать.