Докажите площадь параллелограмма

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Обозначим $AB=a$ — выбранное основание, а $h$ — расстояние (высоту) между прямыми $AB$ и $CD$.

Доказательство через разбиение диагональю

1. Проведём диагональ $BD$. Она разбивает параллелограмм на два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.

2. Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ имеют общий основание $BD$ и лежат между одними и теми же параллельными прямыми $AB\parallel CD$. Значит, их высоты к основанию $BD$ равны. Следовательно,

   $$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle CBD}.$$

3. Площадь параллелограмма равна сумме площадей этих треугольников:

   $$S_{ABCD}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle CBD}=2\,S_{\triangle ABD}.$$

4. Площадь $\triangle ABD$ равна

   $$S_{\triangle ABD}=\tfrac12\cdot AB\cdot h=\tfrac12\cdot a\cdot h,$$

   где $h$ — высота из вершины $D$ на прямую $AB$ (она же расстояние между параллельными $AB$ и $CD$).

5. Подставляя, получаем

   $$S_{ABCD}=2\cdot \Big(\tfrac12\cdot a\cdot h\Big)=a\,h.$$

То есть площадь параллелограмма равна произведению его основания на соответствующую высоту:

Эквивалентная формула через угол

Если обозначить $AD=b$, а $\angle BAD=\gamma$, то высота к основанию $AB$ равна $h=b\sin\gamma$. Тогда

Таким образом, верны обе стандартные формулы площади параллелограмма: