Дано: а перпендикулярно (АВС) MD перпендикулярно ВС, D — середина ВС. Доказать: АВ = АС

Решение.

Пусть $M=a\cap(ABC)$. Из условия $a\perp(ABC)$ следует, что прямая $AM$ перпендикулярна любой прямой плоскости $(ABC)$, проходящей через $M$. В частности,

то есть треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$ прямоугольные (прямые углы при $M$).

По условию $D$ — середина $BC$, а $MD\perp BC$. Значит, прямая $MD$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BC$. Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка, следовательно,

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$:

• у них общий катет $AM$;

• второй катет равен: $MB=MC$.

Значит, треугольники $ABM$ и $ACM$ равны по двум катетам. Отсюда равны их гипотенузы:

Что и требовалось доказать.