Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Для того чтобы доказать, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой, давайте рассмотрим два пересекающихся прямых, которые образуют вертикальные углы.

1. Обозначения. Пусть $A$ и $B$ — две пересекающиеся прямые, образующие вертикальные углы $\angle 1$ и $\angle 2$. Эти углы равны между собой, то есть $\angle 1 = \angle 2$. Точно так же, углы $\angle 3$ и $\angle 4$ также равны между собой (это вертикальные углы).

2. Биссектрисы углов. Теперь рассмотрим биссектрисы углов $\angle 1$ и $\angle 2$. Биссектрисы — это такие прямые, которые делят углы пополам. Таким образом, биссектрисы $\angle 1$ и $\angle 2$ делят углы пополам, а значит, они образуют два равных угла с каждой из данных прямых.

3. Параллельность и совпадение. Поскольку углы $\angle 1$ и $\angle 2$ равны, а их биссектрисы делят углы пополам, это означает, что биссектрисы этих углов обязательно должны быть параллельны между собой, так как они обе направлены по одной и той же линии, образованной пересечением прямых $A$ и $B$.

4. Заключение. Таким образом, биссектрисы вертикальных углов, несмотря на то что могут находиться в разных местах на плоскости, по факту будут лежать на одной прямой, проходящей через вершину углов (точку их пересечения).

Этот вывод подтверждается геометрическими свойствами углов и прямых в планиметрии.