Доказать,что 24 можно представить как разность квадратов ненулевых чисел для n принадлежит N без нуля

Чтобы доказать, что число 24 можно представить как разность квадратов ненулевых чисел, рассмотрим стандартную форму разности квадратов:

Нам нужно найти такие натуральные числа $a$ и $b$, что их квадраты дают разность, равную 24:

Мы можем переписать это уравнение как:

Теперь найдем все пары множителей числа 24, так как $a - b$ и $a + b$ должны быть этими множителями. Пары множителей числа 24 следующие:

Для каждой пары мы подставим значения в выражение $a - b$ и $a + b$.

1. Пара (1, 24):

   $$a - b = 1, \quad a + b = 24$$

   Сложим оба уравнения:

   $$(a - b) + (a + b) = 1 + 24 \quad \Rightarrow \quad 2a = 25 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{25}{2}$$

   Это значение для $a$ не является целым числом, следовательно, эта пара не подходит.

2. Пара (2, 12):

   $$a - b = 2, \quad a + b = 12$$

   Сложим оба уравнения:

   $$(a - b) + (a + b) = 2 + 12 \quad \Rightarrow \quad 2a = 14 \quad \Rightarrow \quad a = 7$$

   Подставим $a = 7$ в уравнение $a - b = 2$:

   $$7 - b = 2 \quad \Rightarrow \quad b = 5$$

   Таким образом, $a = 7$ и $b = 5$. Проверим разность их квадратов:

   $$a^2 - b^2 = 7^2 - 5^2 = 49 - 25 = 24$$

   Это правильное решение. Значит, $24$ действительно можно представить как разность квадратов чисел 7 и 5.

3. Пара (3, 8):

   $$a - b = 3, \quad a + b = 8$$

   Сложим оба уравнения:

   $$(a - b) + (a + b) = 3 + 8 \quad \Rightarrow \quad 2a = 11 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{11}{2}$$

   Это значение для $a$ не является целым числом, следовательно, эта пара не подходит.

4. Пара (4, 6):

   $$a - b = 4, \quad a + b = 6$$

   Сложим оба уравнения:

   $$(a - b) + (a + b) = 4 + 6 \quad \Rightarrow \quad 2a = 10 \quad \Rightarrow \quad a = 5$$

   Подставим $a = 5$ в уравнение $a - b = 4$:

   $$5 - b = 4 \quad \Rightarrow \quad b = 1$$

   Таким образом, $a = 5$ и $b = 1$. Проверим разность их квадратов:

   $$a^2 - b^2 = 5^2 - 1^2 = 25 - 1 = 24$$

   Это тоже правильное решение. Значит, $24$ можно представить как разность квадратов чисел 5 и 1.

Таким образом, мы доказали, что число 24 можно представить как разность квадратов ненулевых чисел, например, в виде $7^2 - 5^2 = 24$ или $5^2 - 1^2 = 24$.