Основанием пирамиды служит прямоугольник, длина одной стороны которого равна 15 см, а длина его диагонали — 24 см. Найдите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к основанию пирамиды под углом 45 градусов.

Для нахождения объема пирамиды, основание которой является прямоугольником, нужно выполнить несколько шагов.

1. Определим размеры основания.

Из условия задачи известно, что основание пирамиды — это прямоугольник с одной стороной длиной 15 см и диагональю длиной 24 см. Пусть другая сторона прямоугольника будет $b$, тогда по теореме Пифагора для диагонали прямоугольника имеем:

Решим это уравнение:

Таким образом, вторая сторона прямоугольника $b \approx 18.73$ см.

2. Найдем высоту пирамиды.

Из условия задачи известно, что каждое боковое ребро наклонено к основанию под углом 45 градусов. Это означает, что боковое ребро пирамиды образует угол 45° с плоскостью основания. Рассмотрим вертикальный сеченный треугольник, где одно из боковых ребер является гипотенузой, а высота пирамиды — катетом. Из-за угла наклона 45° отношение высоты пирамиды $h$ к половине длины диагонали основания (половине расстояния между вершинами прямоугольника) равно 1, так как $\sin 45^\circ = 1/\sqrt{2}$.

Таким образом, высота пирамиды будет равна:

3. Вычислим объем пирамиды.

Объем пирамиды можно найти по формуле:

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $h$ — высота пирамиды.

Площадь основания прямоугольника $S_{\text{осн}}$ равна:

Теперь можем вычислить объем:

Ответ: объем пирамиды составляет примерно 1123.8 см³.