Треугольники с какими длинами сторон являются прямоугольными?

Коротко: прямоугольными являются и только являются те треугольники, у которых квадрат самой длинной стороны равен сумме квадратов двух остальных. Это — обратная теорема Пифагора.

Как проверить данное тройки чисел $(a,b,c)$:

1. Сначала упорядочьте: $c=\max\{a,b,c\}$.

2. Проверьте неравенства треугольника: $a+b>c$, $a>0$, $b>0$.

3. Проверьте пифагорово равенство: $c^2=a^2+b^2$.
   — Если выполняется, треугольник прямоугольный (угол между сторонами $a$ и $b$ — $90^\circ$).
   — Если $c^2>a^2+b^2$, треугольник тупоугольный.
   — Если $c^2$, остроугольный.

Примеры целочисленных (Пифагоровых) троек:

• $3,\,4,\,5$ и все их кратные: $6,8,10$, $9,12,15$, …

• $5,\,12,\,13$

• $8,\,15,\,17$

• $7,\,24,\,25$

• $9,\,40,\,41$, $11,\,60,\,61$ и т. д.

Полная формула для всех примитивных (несократимых) тройек целых длин:

где $m>n$, $m,n$ — взаимно просты и не оба нечётные. Любое кратное такой тройки тоже задаёт прямоугольный треугольник.

Ещё эквивалентные признаки прямоугольного треугольника (если речь не только об целых числах):

• Диаметр описанной окружности равен гипотенузе (теорема Фалеса).

• Средняя линия к гипотенузе равна половине гипотенузы.

• В векторной форме: $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$ для двух сторон, если угол между ними прямой.