Длины сторон треугольника ABC: BC=15; AB=13; AC=4. Через AC проведена плоскость α, которая составляет с плоскостью ABC угол, равный 30 градусов. Найти расстояние от вершины B до плоскости α.

Идея: плоскость α проходит через прямую AC и образует с плоскостью треугольника угол 30°. Если взять сечение плоскостями, перпендикулярными к AC, то получим две пересекающиеся прямые с углом 30°. Для точки B, лежащей в плоскости ABC, расстояние до плоскости α равно перпендикулярному расстоянию от B до прямой AC, умноженному на sin 30°.

1. Найдём расстояние от B до AC — это высота к стороне AC.
   Площадь по Герону для сторон 15, 13, 4:
   p = (15+13+4)/2 = 16,
   S = √(16·(16−15)·(16−13)·(16−4)) = √(16·1·3·12) = √576 = 24.

Высота к AC: $h_B = \dfrac{2S}{AC} = \dfrac{2·24}{4} = 12$.

2. Расстояние от B до плоскости α:
   $d = h_B \sin 30^\circ = 12·\dfrac{1}{2} = 6$.

Ответ: 6.