O — точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD, E и F — середины AB и BC, OE = 4 см, OF = 5 см. Найдите периметр ABCD.

Рассмотрим параллелограмм ABCD, где $O$ — точка пересечения диагоналей, $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$, соответственно. Нам даны данные: $OE = 4$ см, $OF = 5$ см, и необходимо найти периметр параллелограмма.

1. Свойства параллелограмма и векторы:
   Диагонали параллелограмма пересекаются в точке $O$ и делятся пополам. То есть, точка пересечения диагоналей является их серединой. Кроме того, поскольку $E$ и $F$ — середины сторон, отрезки $OE$ и $OF$ — это половины отрезков, соединяющих середины сторон.

2. Рассмотрим вектор $\vec{OE}$:
   Вектор $\vec{OE}$ направлен от точки пересечения диагоналей $O$ к середине стороны $AB$. Поскольку $E$ — середина, вектор $\vec{OE}$ равен половине длины диагонали $AC$, то есть:

   $$\vec{OE} = \frac{1}{2} \vec{AC}$$

   Следовательно, длина диагонали $AC$ равна:

   $$AC = 2 \cdot OE = 2 \cdot 4 = 8 \text{ см}$$

3. Рассмотрим вектор $\vec{OF}$:
   Вектор $\vec{OF}$ направлен от точки пересечения диагоналей $O$ к середине стороны $BC$. Поскольку $F$ — середина, вектор $\vec{OF}$ равен половине длины диагонали $BD$, то есть:

   $$\vec{OF} = \frac{1}{2} \vec{BD}$$

   Следовательно, длина диагонали $BD$ равна:

   $$BD = 2 \cdot OF = 2 \cdot 5 = 10 \text{ см}$$

4. Использование формулы для периметра параллелограмма:
   Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин его сторон. Стороны параллелограмма равны половине длины диагоналей (так как точка пересечения диагоналей делит их пополам), и можно использовать следующее выражение для периметра $P$ параллелограмма:

   $$P = 2 \cdot (AC + BD)$$

   Подставляем найденные длины диагоналей:

   $$P = 2 \cdot (8 + 10) = 2 \cdot 18 = 36 \text{ см}$$

Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен 36 см.