В прямоугольный треугольник с катетами 18 ед.изм. и 9 ед.изм. вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Вычисли периметр квадрата.

Для того чтобы найти периметр квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник, с катетами 18 и 9 единиц, и имеющего с треугольником общий прямой угол, нужно воспользоваться несколькими геометрическими рассуждениями.

1. Площадь прямоугольного треугольника: Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

   $$S_{\text{треугольник}} = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2 = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 9 = 81.$$

2. Площадь квадрата: Пусть $a$ — это сторона вписанного квадрата. Так как квадрат вписан так, что одна его сторона лежит на гипотенузе треугольника, а две другие стороны касаются катетов, его площадь будет равна $a^2$.

3. Отношение площадей: Площадь квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник, связана с площадью самого треугольника через катеты. При таком расположении квадрата, если его сторона равна $a$, то из геометрии известно, что:

   $$a = \frac{\text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2}{\text{катет}_1 + \text{катет}_2}.$$

   Подставляем значения катетов:

   $$a = \frac{18 \cdot 9}{18 + 9} = \frac{162}{27} = 6.$$

4. Периметр квадрата: Периметр квадрата равен четырем сторонам, т.е.:

   $$P = 4a = 4 \cdot 6 = 24.$$

Таким образом, периметр квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник, равен 24 единицы.