хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, причем AM = MB, CM =16 см, DM : МС =1:4. Найдите АВ

Задача на пересекающиеся хорды окружности, для которой можно использовать теорему о пересекающихся хордах.

Согласно теореме о пересекающихся хордах, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Пусть точки пересечения хорды AB и хорды CD — это точка M, и даны следующие данные:

• AM = MB (хорда AB делится на два равных отрезка),

• CM = 16 см,

• DM : MC = 1 : 4.

Обозначим длину отрезка CM как 16 см. Так как DM : MC = 1 : 4, длина отрезка DM будет составлять $\frac{1}{4} \times 16 = 4$ см.

Теперь находим всю длину хорды CD:

• $CD = CM + DM = 16 + 4 = 20$ см.

Применим теорему о пересекающихся хордах. Теорема гласит, что произведение отрезков хорды AB равно произведению отрезков хорды CD, то есть:

Так как $AM = MB$, то $AM^2 = CM \times DM$, и подставим известные значения:

Следовательно, $AM = \sqrt{64} = 8$ см.

Так как $AM = MB$, то длина хорды AB равна:

Ответ: длина хорды AB равна 16 см.