Куб АВСДА₁В₁С₁Д₁. Ребро куба равно 3. Найдите синус угла между плоскостями АВС и ВДА₁.

Рассуждение такое.

Рассмотрим куб $ABCD A_1B_1C_1D_1$ со стороной 3 и введём координаты:

1. Плоскость $ABC$ — это просто нижняя грань куба, то есть плоскость $z=0$.
   Нормаль к этой плоскости можно взять, например,

   $$\vec n_1 = (0,0,1).$$

2. Плоскость $BDA_1$.
   Через точки $B(3,0,0)$, $D(0,3,0)$ и $A_1(0,0,3)$ можно задать два направляющих вектора:

   $$\vec{BD} = D - B = (0-3,\ 3-0,\ 0-0) = (-3,3,0),$$ $$\vec{BA_1} = A_1 - B = (0-3,\ 0-0,\ 3-0) = (-3,0,3).$$

   Вектор нормали к плоскости $BDA_1$ — это их векторное произведение:

   $$\vec n_2 = \vec{BD} \times \vec{BA_1}.$$

   Считаем:

   $$\vec n_2 = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ -3 & 3 & 0 \\ -3 & 0 & 3 \end{vmatrix} = \bigl(3\cdot 3 - 0\cdot 0,\; -(-3\cdot 3 - 0\cdot(-3)),\; -3\cdot 0 - 3\cdot(-3)\bigr) = (9,9,9).$$

   То есть нормаль можно взять $\vec n_2 = (1,1,1)$ (просто сократили на 9).

3. Угол между плоскостями.
   Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями. Пусть этот угол $\varphi$. Тогда

   $$\cos\varphi = \frac{|\vec n_1 \cdot \vec n_2|}{|\vec n_1| \cdot |\vec n_2|}.$$