В окружности проведены два диаметра AD и BC. Докажите, что хорды AC и BD равны.

Пусть $O$ — центр окружности, а $AD$ и $BC$ — диаметры, то есть прямые $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$.

Рассмотрим центральные углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$.
Так как $A, O, D$ лежат на одной прямой (диаметр $AD$), а $B, O, C$ — на другой прямой (диаметр $BC$), углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ — вертикальные, следовательно, равные.

Теперь посмотрим на треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$:

• $OA = OB = OC = OD = R$ — все это радиусы одной окружности;

• $\angle AOC = \angle BOD$ — показали выше.

Значит, треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$ равны по признаку $\text{(сторона–угол–сторона)}$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть их оснований-хорд:

Иными словами, равные центральные углы опираются на равные хорды, а потому хорды $AC$ и $BD$ равны.