Верно ли, что любой треугольник имеет хотя бы один острый угол? Докажите.

Да, верно. Более того, в каждом евклидовом треугольнике как минимум два угла острые.

Доказательство. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

1. Если один угол прямой ($90^\circ$), то сумма двух остальных равна $180^\circ-90^\circ=90^\circ$. Следовательно, каждый из них строго меньше $90^\circ$, то есть оба — острые.

2. Если один угол тупой ($>90^\circ$), то сумма двух остальных равна $180^\circ-\text{(число}>90^\circ)<90^\circ$. Значит, каждый из этих двух углов строго меньше $90^\circ$, следовательно, оба — острые.

3. Если треугольник остроугольный, то все три угла острые — тем более условие выполнено.

Тем самым во всех возможных случаях у треугольника есть хотя бы один (на самом деле — минимум два) острых угла.