Докажите что данное уравнение является уравнение сферы x в квадрате+ y в квадрате +z в кв +2x-2y=2

Чтобы доказать, что уравнение $x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y = 2$ представляет собой уравнение сферы, необходимо привести его к стандартной форме уравнения сферы.

Стандартное уравнение сферы в трехмерном пространстве имеет вид:

где $(x_0, y_0, z_0)$ — координаты центра сферы, а $R$ — радиус сферы.

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Исходное уравнение:

Начнем с того, что соберем все квадраты и линейные члены для $x$ и $y$:

Шаг 2: Завершаем квадрат для $x$ и $y$

Для того чтобы уравнение напоминало форму уравнения сферы, нам нужно завершить квадрат для $x$ и $y$.

1. Для $x^2 + 2x$ добавляем и вычитаем 1, чтобы получить полный квадрат:

2. Для $y^2 - 2y$ добавляем и вычитаем 1, чтобы получить полный квадрат:

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное уравнение:

Шаг 3: Упростим уравнение

Упростим выражение:

Теперь добавим 2 к обеим частям уравнения:

Шаг 4: Получаем уравнение сферы

Уравнение:

Это уравнение соответствует стандартной форме уравнения сферы, где центр сферы $(-1, 1, 0)$, а радиус $R = 2$, так как $4 = 2^2$.

Таким образом, уравнение $x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2y = 2$ действительно представляет собой уравнение сферы с центром в точке $(-1, 1, 0)$ и радиусом 2.