Основания прямоугольной трапеции равны 21 см и 28 см. Найдите радиус окружности, вписанной в трапецию.

Для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, можно воспользоваться специальной формулой. Важно, что для такой трапеции существует свойство: если трапеция прямоугольная, то её окружность можно вписать, если выполняется условие:

$a + b = c + d$

где $a$ и $b$ — длины оснований, а $c$ и $d$ — длины боковых сторон. В данном случае основание трапеции $a = 21 \, \text{см}$ и $b = 28 \, \text{см}$. Поскольку трапеция прямоугольная, боковые стороны перпендикулярны основаниям.

Рассмотрим трапецию с основаниями $a$ и $b$, и высотой $h$. Для прямоугольной трапеции с вписанной окружностью можно найти радиус окружности с помощью формулы:

где $h$ — высота трапеции.

Чтобы найти высоту $h$, используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной и разностью оснований. Пусть боковая сторона трапеции — это $c$. Разность оснований составляет $b - a = 28 - 21 = 7 \, \text{см}$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

Так как трапеция прямоугольная, $c = h$, поэтому подставляем это в уравнение:

После решения уравнения можно найти $h$.