точка А принадлежит окружности. АК перпендикулярно к её плоскости, АК = 1 см, АВ — диаметр, ВС — хорда окружности, составляет с АВ угол 45 градусов. Радиус окружности равен 2 см. Доказать: треугольник КСВ прямоугольный. Найти: КС.

Дано: окружность радиуса $R=2$ см лежит в некоторой плоскости. Точка $A$ принадлежит окружности. Отрезок $AK\perp$ плоскости окружности, $AK=1$ см. $AB$ — диаметр, значит $AB=2R=4$ см. $BC$ — хорда, причём она составляет с $AB$ угол $45^\circ$, то есть $\angle ABC=45^\circ$ (угол между хордами/отрезками $BA$ и $BC$ в точке $B$).

1) Найдём длины $BC$ и $AC$ в плоскости окружности

Так как $AB$ — диаметр окружности, то вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:

Значит, треугольник $ABC$ прямоугольный (прямой угол при $C$).

Дано $\angle ABC=45^\circ$. Тогда третий угол:

Получаем, что $\angle A = \angle B = 45^\circ$, то есть треугольник $ABC$ — равнобедренный прямоугольный, и его катеты равны:

В прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза $AB$ выражается так:

Отсюда

Следовательно,

2) Найдём $KC$

Отрезок $AK$ перпендикулярен плоскости окружности, значит он перпендикулярен любому отрезку в этой плоскости, проходящему через точку $A$. В частности,

Тогда треугольник $KAC$ прямоугольный (прямой угол при $A$), и по теореме Пифагора:

Значит,

3) Доказать, что $\triangle KCB$ прямоугольный

Аналогично, так как $AK\perp$ плоскости окружности, то

следовательно, треугольник $KAB$ тоже прямоугольный (прямой угол при $A$). Тогда:

Теперь сравним квадраты сторон в треугольнике $KCB$:

То есть выполняется теорема Пифагора для треугольника $KCB$ с гипотенузой $KB$. Следовательно, угол при $C$ прямой:

и треугольник $KCB$ прямоугольный.

Ответ

1. $\triangle KCB$ прямоугольный (прямой угол при $C$