Точка K находится на основании равнобедренного треугольника. Докажите, что сумма расстояний от этой точки до боковых сторон треугольника есть величина постоянная.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $BC$, где $AB=AC$. Пусть точка $K$ лежит на основании $BC$. Обозначим через

расстояния от точки $K$ до боковых сторон $AB$ и $AC$ (то есть длины перпендикуляров из $K$ на эти прямые/стороны).

Нужно доказать, что сумма $d_1+d_2$ не зависит от выбора точки $K$ на основании $BC$.

Шаг 1. Выразим площади через расстояния до сторон

Рассмотрим площади треугольников $ABK$ и $ACK$.

1. Треугольник $ABK$. В качестве основания возьмём $AB$. Тогда высота из точки $K$ к стороне $AB$ как раз равна $d_1$. Значит,

2. Треугольник $ACK$. В качестве основания возьмём $AC$. Высота из точки $K$ к стороне $AC$ равна $d_2$. Тогда

Шаг 2. Свяжем эти площади с площадью всего треугольника

Так как $K$ лежит на стороне $BC$, отрезок $AK$ разбивает треугольник $ABC$ на два треугольника $ABK$ и $ACK$, причём они не перекрываются и вместе дают весь $ABC$. Следовательно,

Подставим выражения из шага 1:

Шаг 3. Используем равнобедренность

В равнобедренном треугольнике $AB=AC$. Обозначим $AB=AC=\ell$. Тогда формула упрощается:

Отсюда сразу получаем

Правая часть зависит только от самого треугольника $ABC$: его площадь $S_{ABC}$ и длина боковой стороны $\ell$ фиксированы. Следовательно, величина $d_1+d_2$ не зависит от положения точки $K$ на основании $BC$ и является постоянной.

Итог

Для любой точки $K$ на основании равнобедренного треугольника сумма расстояний от $K$ до боковых сторон равна