Хорда стягивает дугу в 60 градусов. Длина дуги равна 2π. Найдите длину хорды и площадь

Ответы на вопрос

Отвечает Дрозд Максим.

Используем стандартные формулы для окружности и её элементов.

Дано:

Длину дуги окружности можно выразить как

l = R \cdot \varphi,

где $R$ — радиус окружности, $\varphi$ — центральный угол в радианах.

У нас угол $60^\circ$ . Переведём его в радианы:

60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ радиан}.

Подставляем в формулу:

2\pi = R \cdot \frac{\pi}{3}.

Отсюда найдём радиус $R$ :

R = \frac{2\pi}{\pi/3} = 2\pi \cdot \frac{3}{\pi} = 6.

Итак, радиус окружности:

R = 6.

Длина хорды, стягивающей центральный угол $\varphi$ , выражается формулой:

d = 2R \sin\left(\frac{\varphi}{2}\right).

Подставляем наши значения $R = 6$ и $\varphi = \frac{\pi}{3}$ :

d = 2 \cdot 6 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}{:}2\right) = 12 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}\right).

Из тригонометрии:

\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}.

Тогда:

d = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6.

Длина хорды равна 6.

Площадь сектора можно выразить через радианы так:

S = \frac{1}{2} R^2 \varphi.

Подставляем $R = 6$ и $\varphi = \frac{\pi}{3}$ :

S = \frac{1}{2} \cdot 6^2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot 36 \cdot \frac{\pi}{3} = 18 \cdot \frac{\pi}{3} = 6\pi.

Можно проверить альтернативным способом: сектор с углом $60^\circ$ — это $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ полной окружности. Полная площадь круга:

\pi R^2 = \pi \cdot 6^2 = 36\pi.

Тогда площадь сектора:

S = \frac{1}{6} \cdot 36\pi = 6\pi,

что совпадает с результатом.

Ответ:

Хорда стягивает дугу в 60 градусов. Длина дуги равна 2π. Найдите длину хорды и площадь соответствующего сектора.