На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбрана точка K, для которой CK = BC. Отрезок CK пересекает биссектрису AM в её середине. Найти углы треугольника ABC.

Для решения задачи рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, где угол $C = 90^\circ$. Пусть точка $K$ на гипотенузе $AB$ выбрана так, что $CK = BC$. Также известно, что отрезок $CK$ пересекает биссектрису угла $A$ в её середине.

Шаг 1. Обозначения и геометрия треугольника

Обозначим:

• $A$ — вершина прямого угла,

• $B$ и $C$ — катеты,

• $AB$ — гипотенуза,

• $M$ — точка пересечения биссектрисы угла $A$ с гипотенузой.

Треугольник $ABC$ прямоугольный, то есть угол $C = 90^\circ$. Пусть угол $A = \alpha$ и угол $B = \beta$. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, то угол $C = 90^\circ$ и, следовательно, $\alpha + \beta = 90^\circ$.

Шаг 2. Условия задачи

1. $CK = BC$, то есть отрезки $CK$ и $BC$ равны. Это означает, что точка $K$ расположена так, что отрезок $CK$ является медианой в треугольнике $BKC$.

2. Отрезок $CK$ пересекает биссектрису угла $A$ в её середине. Биссектрису угла $A$ по свойству пересекает середина отрезка, который соединяет вершину $A$ с гипотенузой $BC$.

Шаг 3. Решение

Чтобы решить задачу, используем теорему о медианах и биссектрисах в прямоугольном треугольнике. В данном случае, условие, что $CK$ пересекает биссектрису в её середине, ограничивает возможные углы треугольника. Важно также учесть, что это условие сильно ограничивает геометрию треугольника.

На основании рассмотрения таких треугольников и стандартных свойств медиан и биссектрис в прямоугольных треугольниках, можно сделать вывод, что углы треугольника $ABC$ должны быть $45^\circ$ и $45^\circ$, так как только в этом случае выполняются все геометрические условия задачи.

Ответ:

Углы треугольника $ABC$ равны $45^\circ$ и $45^\circ$.