Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 4 см и образуют с плоскостью основания угол 60 градусов. Найти объем.

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды, где боковые ребра равны 4 см, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 60 градусам, можно воспользоваться следующими шагами.

1. Построение пирамиды и ввод данных

Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание. Боковые ребра одинаковые и наклоняются под углом к плоскости основания. Нам нужно найти объем этой пирамиды.

Обозначим:

• $a$ — длина ребра основания (сторона квадрата),

• $l = 4$ см — длина бокового ребра пирамиды,

• угол между боковым ребром и плоскостью основания равен $\alpha = 60^\circ$.

2. Нахождение высоты пирамиды

Для начала найдем высоту пирамиды $h$. Мы знаем, что угол между боковым ребром и плоскостью основания составляет 60 градусов, поэтому можно использовать тригонометрию для нахождения высоты.

Проекция бокового ребра на вертикаль будет равна:

Это и есть высота пирамиды.

3. Нахождение длины стороны основания

Так как пирамида правильная, её основание — квадрат. Проекция бокового ребра на основание будет равна половине стороны квадрата. Таким образом, если мы будем рассматривать прямоугольный треугольник, где гипотенуза — это боковое ребро, а катет — половина стороны основания, то можем найти сторону основания с помощью тригонометрии.

Половина стороны основания равна:

Отсюда длина стороны основания:

4. Нахождение площади основания

Площадь основания квадрата:

5. Нахождение объема пирамиды

Объем правильной пирамиды вычисляется по формуле:

Подставим значения:

Ответ: объем пирамиды равен 32 см³.