Найдите наименьший острый угол прямоугольного треугольника, если известно, что медиана, выходящая из вершины прямого угла, делит этот угол в отношении 2:1.

Пусть $\triangle ABC$ прямоугольный с $\angle C = 90^\circ$. Проведём медиану $CM$ к гипотенузе $AB$. По условию $CM$ делит угол $C$ в отношении $2:1$, то есть на $60^\circ$ и $30^\circ$.

Расположим треугольник в системе координат: $C=(0,0)$, $A=(b,0)$, $B=(0,a)$. Тогда середина гипотенузы

а вектор $\overrightarrow{CM}=(\tfrac b2,\tfrac a2)$.

Угол между $CM$ и осью $Ox$ (то есть стороной $CA$) имеет тангенс

Но $CM$ делит прямой угол на $30^\circ$ и $60^\circ$, значит $\theta=30^\circ$ или $\theta=60^\circ$. Отсюда

Следовательно, острые углы треугольника — $30^\circ$ и $60^\circ$. Наименьший острый угол равен $30^\circ$.