Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает его сторону BC в точке E. Найдите площадь параллелограмма, если BE=5, EC=2, а угол ABC=150°.

Решение.

В параллелограмме $ABCD$ известен $\angle ABC=150^\circ$, значит $\angle DAB=30^\circ$. Биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в $E$, причем $BE=5$, $EC=2$ ⇒ $BC=7$.

Введём координаты: положим $A(0,0)$, $AB=b$ по оси $x$, $AD$ образует угол $30^\circ$ с $AB$ и имеет длину $a=BC=7$. Тогда

Точка $E$ делит $BC$ в отношении $BE:EC=5:2$, т.е.

Биссектриса угла $A=30^\circ$ идёт под углом $15^\circ$ к оси $x$; её направление — $(\cos15^\circ,\sin15^\circ)$. Следовательно, координаты любой точки на биссектрисе удовлетворяют

Подставляя координаты $E$:

Итак, $AB=5$, $BC=7$. Площадь параллелограмма