Найдите третью сторону треугольника, если две его стороны равны m и n, а площадь равна 0.3mn.

Пусть $m$ и $n$ — данные стороны, а угол между ними равен $\alpha$.
Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

По условию $S=0{,}3\,mn$, значит

Тогда $\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\pm\sqrt{1-0{,}36}=\pm0{,}8$.
Знак «плюс» соответствует острому углу, «минус» — тупому (поскольку у синуса одно и то же значение на этих двух углах).

По теореме косинусов третья сторона $c$:

Отсюда получаем два возможных значения:

• при остром угле ($\cos\alpha=+0{,}8$):

• при тупом угле ($\cos\alpha=-0{,}8$):

Итак, третья сторона может быть

— в зависимости от того, острый или тупой угол между сторонами $m$ и $n$.