В равнобедренной трапеции угол при основании равен 45°, боковые стороны равны 9√2 см, а диагональ — 15 см. Найдите периметр и площадь трапеции.

Для решения задачи о равнобедренной трапеции, в которой угол при основании равен 45°, боковые стороны равны 9√2 см, а диагональ — 15 см, найдем периметр и площадь трапеции поэтапно.

1. Вычисление оснований трапеции

Обозначим основание трапеции за $AB$ и $CD$, где $AB$ — большее основание, а $CD$ — меньшее. Известно, что боковые стороны $AD$ и $BC$ равны 9√2 см, и угол при основании равен 45°.

Предположим, что основание $CD = x$ см. Тогда основание $AB = x + 2a$, где $a$ — это горизонтальная проекция боковой стороны на основание. Так как угол при основании равен 45°, то проекция боковой стороны на основание равна $a = 9$ см. Это объясняется тем, что в прямоугольном треугольнике, образованном боковой стороной, проекцией и высотой, угол при основании 45° означает, что катеты равны.

Таким образом, основание $AB = x + 2 \times 9 = x + 18$.

2. Использование диагонали

Теперь, зная, что диагональ $AC = 15$ см, рассмотрим треугольник $ABC$, где $AB = x + 18$, $BC = 9\sqrt{2}$ и $AC = 15$. Используя теорему Пифагора для треугольника $ABC$:

Подставим известные значения:

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

Таким образом:

3. Вычисление периметра и площади трапеции

Теперь, используя значения оснований и боковых сторон, можно вычислить периметр трапеции: