В нижнем основании цилиндра проведена хорда, удаленная от центра основания на расстояние d, а из центра нижнего основания видна под углом φ. Отрезок, который соединяет центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с нижним основанием угол α. Найти боковую поверхность цилиндра.

Решаю по шагам.

1. Пусть радиус основания цилиндра $R$, высота $h$.

   Хорда, «видимая из центра под углом $\varphi$», стягивает центральный угол $\varphi$. Тогда расстояние от центра до хорды равно

   $$d=R\cos\frac{\varphi}{2}\quad\Longrightarrow\quad R=\frac{d}{\cos(\varphi/2)}.$$

2. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью нижнего основания угол $\alpha$. В проекции на эту плоскость горизонтальная составляющая отрезка равна $R$, вертикальная — $h$. Поэтому

   $$\tan\alpha=\frac{h}{R}\quad\Longrightarrow\quad h=R\tan\alpha.$$

3. Боковая поверхность цилиндра:

   $$S_{б}=2\pi R h=2\pi R^2\tan\alpha.$$

   Подставляя $R=\dfrac{d}{\cos(\varphi/2)}$, получаем

   $$\boxed{\,S_{б}=2\pi\,\frac{d^{2}}{\cos^{2}(\varphi/2)}\,\tan\alpha\, }.$$

Это и есть искомая боковая поверхность цилиндра (при $\varphi\in(0,\pi)$ и $\alpha\in(0,\tfrac{\pi}{2})$ для геометрической осмысленности).