В треугольнике ABC АС=12 см. Через точку пересечения медиан проведена прямая DE (D принадлежит АВ, Е принадлежит ВС), параллельная АС. Найдите DE.

Возьмём треугольник $ABC$, где $AC = 12$ см. Пусть медианы пересекаются в точке $M$ (это центр тяжести треугольника). Через точку $M$ проведена прямая $DE$, параллельная стороне $AC$, причём $D \in AB$, $E \in BC$. Нужно найти длину $DE$.

Удобнее всего решить задачу с помощью координат.

1. Разместим треугольник на координатной плоскости:

   • Точку $A$ поместим в начало координат: $A(0,0)$.

   • Точку $C$ — на ось Ox: $C(12,0)$, так как $AC = 12$.

   • Точку $B(x_0, y_0)$ возьмём произвольной (главное, чтобы $y_0 \neq 0$, чтобы треугольник не выродился).

2. Найдём координаты точки пересечения медиан $M$.
   Центр тяжести треугольника имеет координаты:

   $$M\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right).$$

   Подставляем:

   • $A(0,0)$,

   • $B(x_0, y_0)$,

   • $C(12,0)$.

   Получаем:

   $$M\left(\frac{0 + x_0 + 12}{3}, \frac{0 + y_0 + 0}{3}\right) = \left(\frac{x_0 + 12}{3}, \frac{y_0}{3}\right).$$

3. Прямая $DE$ параллельна $AC$.
   Сторона $AC$ лежит на оси Ox, то есть имеет уравнение $y = 0$.
   Прямая, параллельная $AC$ и проходящая через точку $M$, будет горизонтальной:

   $$y = \frac{y_0}{3}.$$

4. Найдём точку $D$ — пересечение прямой $y = \frac{y_0}{3}$ со стороной $AB$.
   Сторона $AB$ — это отрезок между точками $A(0,0)$ и $B(x_0, y_0)$.
   Его можно параметризовать так:

   $$(x, y) = (t x_0, t y_0), \quad 0 \le t \le 1.$$

   Подставляем условие $y = \frac{y_0}{3}$:

   $$t y_0 = \frac{y_0}{3} \Rightarrow t = \frac{1}{3}.$$

   Тогда координаты точки $D$:

   $$D\left(\frac{x_0}{3}, \frac{y_0}{3}\right).$$

5. Найдём точку $E$ — пересечение прямой $y = \frac{y_0}{3}$ со стороной $BC$.
   Сторона $BC$ — отрезок между $B(x_0, y_0)$