1. Отрезки EF и РД пересекаются в их середине М. Докажите, что РЕ || ДF. 2. Отрезок ДМ — биссектриса треугольника СДЕ. Через точку М проведена прямая, параллельная стороне СД и пересекающая сторону ДЕ в точке N. Найдите углы треугольника ДМN, если угол СДЕ = 68 градусов.

1. Пусть $M$ — середина обоих отрезков: $ME=MF$ и $MP=MD$. Рассмотрим векторно:

Отсюда $\overrightarrow{PE}=-(\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{ME})=-\overrightarrow{DF}$.
Векторы противоположны ⇒ коллинеарны, значит $PE\parallel DF$.

2. В $\triangle CDE$ дано $\angle CDE=68^\circ$, а $DM$ — биссектриса, поэтому

Через $M$ проведена прямая $MN\parallel CD$, причём $N\in DE$.

— Угол при $N$ в $\triangle DMN$: $\angle DNM$ — это угол между $DN\subset DE$ и $MN\parallel CD$, значит

— Угол при $D$: $\angle MDN$ — это угол между $DM$ и $DN\subset DE$, то есть

— Угол при $M$:

Итак, углы $\triangle DMN$: при $D$ — $34^\circ$, при $N$ — $68^\circ$, при $M$ — $78^\circ$.