Луч ОР является биссектрисой угла КОМ. Докажите, что треугольник KOP равен треугольнику МОР, если OK = OM.

Пусть луч $OR$ — биссектриса угла $\angle KOM$ и дано $OK=OM$. Рассмотрим треугольники $KOR$ и $MOR$ (в записи из условия это $KOP$ и $MOP$, где $P\equiv R$).

1. Так как $OR$ — биссектриса $\angle KOM$, то $\angle KOR=\angle ROM$.

2. По условию $OK=OM$.

3. Отрезок $OR$ — общий для обоих треугольников.

Итак, в треугольниках $KOR$ и $MOR$ равны две стороны $OK=OM$ и $OR=OR$, а также угол между ними $\angle KOR=\angle ROM$. Следовательно, треугольники равны по признаку «две стороны и угол между ними» (SAS).

Значит, $\triangle KOP \cong \triangle MOP$ (т. е. $\triangle KOR \cong \triangle MOR$).