Найдите объем конуса, площадь основания которого равна 9, а образующая равна 14 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов.

Для нахождения объема конуса нужно использовать формулу:

где $V$ — объем конуса, $S_b$ — площадь основания, а $h$ — высота конуса.

Из условия задачи известно:

• Площадь основания $S_b = 9$,

• Образующая конуса $l = 14$,

• Угол наклона образующей к плоскости основания $\alpha = 30^\circ$.

1. Найдем высоту конуса $h$. Для этого используем тригонометрию. В прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — это образующая $l$, катет $h$ можно найти через угол наклона:

2. Теперь нужно найти радиус основания $r$. Площадь основания конуса $S_b$ выражается через радиус как $S_b = \pi r^2$. Из условия задачи $S_b = 9$, значит:

Отсюда:

3. Теперь, имея высоту $h = 7$ и площадь основания $S_b = 9$, можем найти объем конуса:

Таким образом, объем конуса равен 21 кубическому единице.