Большее основание равнобокой трапеции равно 18, а её диагональ является биссектрисой острого угла трапеции. Найдите меньшее основание трапеции, если её периметр равен 54.

Дано, что трапеция равнобокая, её большее основание равно 18, диагональ является биссектрисой острого угла, а периметр трапеции равен 54. Необходимо найти меньшее основание трапеции.

1. Обозначения:

   • Пусть $a = 18$ — большее основание трапеции.

   • Пусть $b$ — меньшее основание.

   • Пусть $h$ — высота трапеции.

   • Пусть $s$ — боковая сторона трапеции.

2. Периметр трапеции:
   Периметр трапеции равен 54, то есть:

   $$P = a + b + 2s = 54$$

   Подставим $a = 18$:

   $$18 + b + 2s = 54$$ $$b + 2s = 36 \quad \text{(1)}$$

3. Используем свойство диагонали:
   Поскольку диагональ является биссектрисой острого угла, то она делит трапецию на два прямоугольных треугольника. В этих треугольниках высота будет являться одним из катетов, а боковая сторона — гипотенузой. Также, из-за того, что трапеция равнобокая, боковые стороны равны, и диагональ делит большее основание на два равных отрезка.

4. Площадь трапеции:
   Для трапеции с основанием $a$ и $b$ и высотой $h$ её площадь можно выразить как:

   $$S = \frac{1}{2} (a + b) h$$

   Но также площадь можно выразить через полупериметр $p$ и боковую сторону $s$ (по формуле для площади прямоугольного треугольника):

   $$S = s \cdot h$$

   Решая эту систему, найдем меньший угол