через сторону AC треугольника ABC проведена плоскость α, удаленная от вершины B на расстояние 4 см. AC = BC = 8 см, угол ABC = 22°30'. Найти угол между плоскостями ABC и α.

Искомый угол — это двугранный угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$ вдоль их линии пересечения $AC$. Если $\rho$ — расстояние от точки $B$ до плоскости $\alpha$, а $h$ — расстояние (высота) от $B$ до прямой $AC$ в плоскости $ABC$, то справедливо

где $\varphi$ — угол между плоскостями $ABC$ и $\alpha$.

Найдём $h = d(B,AC)$. По условию $AC=BC=8$, значит $\triangle ABC$ равнобедренный с $\angle A = \angle B = 22^\circ 30'$, поэтому $\angle C = 180^\circ - 2\cdot 22^\circ 30' = 135^\circ$.

Площадь треугольника:

Высота из $B$ на $AC$:

Дано $\rho = d(B,\alpha)=4$ см, значит

Отсюда $\varphi = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.