Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Периметр треугольника BOC и периметр треугольника AOD относятся как 2:3. AC=20. Найти AO и OC.

Решение.

1. В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD \parallel BC$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны:
   $\angle BOC = \angle AOD$ (вертикальные), $\angle BCO = \angle ADO$ (накрестлежащие при $BC \parallel AD$).

2. Пусть коэффициент подобия (из $AOD$ к $BOC$) равен $k$. Тогда отношения соответствующих сторон:

потому что периметр масштабируется тем же коэффициентом.

По условию $\;P_{BOC}:P_{AOD}=2:3$. Значит

Отсюда $\displaystyle \frac{AD}{BC}=\frac{3}{2}$.

3. Из известного свойства диагоналей трапеции: точка пересечения делит каждую диагональ пропорционально основаниям, то есть

4. При этом $AO+OC=AC=20$. Решаем систему:

Ответ: $AO=12$, $OC=8$.