На боковых сторонах равнобедренного треугольника ABC отложены равные отрезки BM и BN. Отрезок BD — медиана треугольника. Докажите, что MD = ND.

Для доказательства, что $MD = ND$, воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и медианы.

1. Пусть $\triangle ABC$ — равнобедренный треугольник, в котором $AB = AC$, $BM = BN$ — равные отрезки, отложенные на боковых сторонах $AB$ и $AC$, и $BD$ — медиана, то есть отрезок, соединяющий вершину $B$ с серединой основания $AC$.

2. Так как $BD$ — медиана, она делит основание $AC$ пополам. Обозначим $D$ как точку, в которой медиана пересекает основание. Таким образом, $AD = DC$.

3. Также известно, что $BM = BN$. Это условие говорит нам, что отрезки $BM$ и $BN$ равны, следовательно, треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACN$ равны по гипотенузе и двум прилежащим катетам (по теореме о равенстве треугольников по двум сторонам и углу между ними). То есть:

   $$\triangle ABM \cong \triangle ACN.$$

4. Из этого следует, что углы $\angle ABM = \angle ACN$ и $\angle BAM = \angle CAN$.

5. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle BMD$ и $\triangle CND$. Эти треугольники имеют:

   • Общую сторону $BD$ (так как это медиана);

   • Углы $\angle BMD = \angle CND$, так как $\angle ABM = \angle ACN$ и они опираются на одинаковые стороны $BM$ и $BN$;

   • Стороны $BM = BN$ по условию.

6. Поскольку треугольники $\triangle BMD$ и $\triangle CND$ равны по трем признакам (по двум сторонам и углу между ними), это означает, что и соответствующие им стороны равны. В частности, $MD = ND$.

Таким образом, доказано, что $MD = ND$.