Найти все углы и стороны ромба, если его периметр равен 12 см, а меньшая диагональ 3 см.

Периметр ромба $P=12$ см ⇒ каждая сторона

Пусть диагонали $d_1$ и $d_2$, а угол ромба (острый) — $\alpha$. Для ромба известны формулы

при этом меньшая диагональ — это $\min(d_1,d_2)$.

Дано, что меньшая диагональ равна $3$ см. Подставим $a=3$:

Отсюда $\min\!\left(\cos\frac{\alpha}{2},\sin\frac{\alpha}{2}\right)=\tfrac{1}{2}$.

Возможны два случая:

1. Если $\alpha\le 90^\circ$, то меньшая — $d_2=6\sin\frac{\alpha}{2}=3$, значит $\sin\frac{\alpha}{2}=\tfrac12$ ⇒ $\frac{\alpha}{2}=30^\circ$ ⇒ $\alpha=60^\circ$.

2. Если $\alpha\ge 90^\circ$, то меньшая — $d_1=6\cos\frac{\alpha}{2}=3$, значит $\cos\frac{\alpha}{2}=\tfrac12$ ⇒ $\frac{\alpha}{2}=60^\circ$ ⇒ $\alpha=120^\circ$.

В ромбе острые углы равны между собой, а тупые — между собой, поэтому итог один и тот же: острые углы по $60^\circ$, тупые по $120^\circ$.

Итог:

• стороны ромба: все по $3$ см;

• углы: $60^\circ$ и $120^\circ$.

(Кстати, в этом случае вторая диагональ равна $2a\max\!\left(\sin\frac{\alpha}{2},\cos\frac{\alpha}{2}\right)=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$ см.)