Существует ли треугольник со сторонами 3 см и 4 см и высотой 5 см, проведённой к третьей стороне?

Да, такой треугольник существует.

Обозначим стороны так: две известные стороны равны $3$ см и $4$ см, а к третьей стороне $c$ проведена высота $h_c = 5$ см.

Высота к стороне $c$ опускается из вершины, противоположной этой стороне. Пусть эта вершина — $A$, а основание высоты — точка $H$ на стороне $BC$ (где $BC=c$). Тогда получаются два прямоугольных треугольника $ABH$ и $ACH$ с гипотенузами $AB$ и $AC$.

Но в любом прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого катета. Здесь катет $AH = 5$ см, значит обе гипотенузы должны быть строго больше 5 см:

Однако по условию две стороны треугольника — это $3$ см и $4$ см. Какими бы из $AB$ и $AC$ они ни были, хотя бы одна из этих сторон равна $3$ или $4$, то есть меньше 5. Это невозможно, потому что соответствующая гипотенуза не может быть меньше катета $5$.

Можно сказать и ещё проще: высота к любой стороне треугольника не может превышать длины каждой из двух сторон, выходящих из той же вершины (она является катетом в прямоугольных треугольниках с этими сторонами как гипотенузами). Поэтому при высоте 5 обе прилежащие стороны должны быть не меньше 5, а у нас они 3 и 4.

Следовательно, треугольника со сторонами 3 см и 4 см и высотой 5 см к третьей стороне не существует.