Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с $AB = AC$ (то есть основание — $BC$).

Обозначим:

• $M$ — середина стороны $AB$,

• $N$ — середина стороны $AC$,

• $P$ — середина стороны $BC$.

Нужно доказать, что треугольник $MNP$ равнобедренный.

Шаг 1. Используем свойство средней линии треугольника

Известно: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен половине её длины.

Рассмотрим треугольник $ABC$.

1. Отрезок $NP$ соединяет середины сторон $AC$ и $BC$, значит:

2. Отрезок $MP$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, значит:

Шаг 2. Сравним стороны $MP$ и $NP$

Так как исходный треугольник равнобедренный, то

Тогда, деля обе части на 2, получаем

Но $\frac{AB}{2} = NP$, а $\frac{AC}{2} = MP$. Следовательно,

Вывод

В треугольнике $MNP$ две стороны равны: $NP = MP$. Значит, треугольник $MNP$ — равнобедренный.

Что и требовалось доказать.