Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в котором CD=5, BD₁=10. Найдите угол между прямой BD₁ и плоскостью ADD₁A₁.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть

Тогда плоскость $ADD_1A_1$ — это боковая грань через точки $A,D,D_1,A_1$. В наших координатах все эти точки имеют $x=0$, значит уравнение плоскости:

1) Используем данные

Дано $CD=5$. Отрезок $CD$ в координатах соединяет $C(a,b,0)$ и $D(0,b,0)$, его длина равна $a$. Значит:

Дано $BD_1=10$. Вектор

Его длина:

Отсюда действительно следует $b^2+h^2=75$, но нам это даже не понадобится для угла.

2) Находим угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью удобно искать через синус:

• перпендикуляр к плоскости $x=0$ направлен вдоль оси $x$, то есть нормальный вектор можно взять $\vec n=(1,0,0)$;

• синус угла $\alpha$ между прямой и плоскостью равен отношению модуля компоненты вектора направления прямой по нормали к длине вектора:

Считаем скалярное произведение:

Тогда

Значит