В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки M, N, P, Q — середины отрезков AB, BC, CD, AD соответственно. Докажите, что MNPQ — параллелограмм.

Рассмотрим выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Пусть
$M$ — середина $AB$, $N$ — середина $BC$, $P$ — середина $CD$, $Q$ — середина $AD$.
Нужно доказать, что четырёхугольник $MNPQ$ является параллелограммом, то есть что
$\overline{MN}\parallel \overline{PQ}$ и $\overline{NP}\parallel \overline{MQ}$.

1) Докажем, что $MN \parallel AC$ и $MN=\dfrac{AC}{2}$

Рассмотрим треугольник $ABC$.
Точка $M$ — середина $AB$, а точка $N$ — середина $BC$.
По теореме о средней линии треугольника: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине.
Значит,

2) Докажем, что $PQ \parallel AC$ и $PQ=\dfrac{AC}{2}$

Теперь рассмотрим треугольник $ADC$.
Точка $Q$ — середина $AD$, а точка $P$ — середина $CD$.
Снова применяем теорему о средней линии треугольника:

То есть $PQ \parallel AC$ и $PQ=\dfrac{AC}{2}$.

Из пунктов (1) и (2) получаем:

и вдобавок

3) Докажем, что $NP \parallel BD$ и $NP=\dfrac{BD}{2}$

Рассмотрим треугольник $BCD$.
Точка $N$ — середина $BC$, точка $P$ — середина $CD$.
По теореме о средней линии:

4) Докажем, что $MQ \parallel BD$ и $MQ=\dfrac{BD}{2}$

Рассмотрим треугольник $BAD$.
Точка $M$ — середина $BA$, точка $Q$ — середина $AD$.
Снова средняя линия:

Из пунктов (3) и (4) следует:

и

5) Завершение: $MNPQ$ — параллелограмм

Мы доказали, что у четырёхугольника $MNPQ$:

• противоположные стороны $MN$ и $PQ$ параллельны ($MN\parallel PQ$);

• противоположные стороны $NP$ и $MQ$ параллельны ($NP\parallel MQ$).

Следовательно, по определению параллелограмма (четырёхугольник, у которого обе пары противоположных сторон параллельны) получаем, что

(Кстати, мы даже получили сильнее: $MN=PQ$ и $NP=MQ$, но для параллелограмма достаточно именно параллельности обеих пар противоположных сторон.)