Высота правильной четырёхугольной усечённой пирамиды равна 4 см, стороны оснований 2 см и 8 см. Найти площадь диагонального сечения.

Для того чтобы найти площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, необходимо использовать некоторые геометрические свойства.

1. Геометрия усечённой пирамиды:
   Правильная четырёхугольная усечённая пирамида имеет два основания: одно из которых — квадрат со стороной 8 см, а другое — квадрат со стороной 2 см. Высота пирамиды равна 4 см.

2. Диагональное сечение:
   Диагональное сечение усечённой пирамиды — это сечение, проходящее через вершины обоих оснований. Так как основание правильной пирамиды является квадратом, сечение будет также четырёхугольным, и его форма будет зависеть от пропорций между сторонами оснований и высотой пирамиды.

3. Площадь диагонального сечения:
   Площадь диагонального сечения можно найти, используя формулу площади трапеции, так как диагональное сечение усечённой пирамиды будет трапецией. Сечение будет включать два отрезка, соответствующие диагоналям квадратных оснований. Для этого:

   • Диагональ большего квадрата: $d_1 = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$

   • Диагональ меньшего квадрата: $d_2 = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

   Таким образом, длины диагоналей оснований — это $d_1 = 8\sqrt{2}$ и $d_2 = 2\sqrt{2}$.

4. Высота сечения:
   Высота сечения — это высота пирамиды, то есть 4 см.

5. Площадь трапеции:
   Площадь трапеции можно найти по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \times (d_1 + d_2) \times h$$

   где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей оснований, а $h$ — высота пирамиды.

   Подставляем известные значения:

   $$S = \frac{1}{2} \times (8\sqrt{2} + 2\sqrt{2}) \times 4 = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{2} \times 4 = 20\sqrt{2}$$

   Таким образом, площадь диагонального сечения усечённой пирамиды составляет $20\sqrt{2}$ квадратных сантиметров.