Стороны оснований правильной усечённой пирамиды равны 24 и 40, а её высота равна 16. Найдите диагональ усечённой пирамиды (основание пирамиды — квадрат).

Для того чтобы найти диагональ усечённой пирамиды, начнем с того, что у нас есть правильная усечённая пирамида, у которой основания — квадраты. Стороны основания пирамиды равны 24 и 40, а высота пирамиды составляет 16.

Шаг 1: Понимание геометрической фигуры
У нас есть два квадрата — один меньший, другой больший. Большая сторона основания равна 40, а меньшая сторона — 24. Высота пирамиды — это расстояние между центрами этих двух оснований, которое равно 16.

Шаг 2: Нахождение диагонали каждого основания
Для каждого квадрата диагональ можно вычислить по формуле для диагонали квадрата:
$d = a \sqrt{2}$
где $a$ — сторона квадрата.

Для большего основания с длиной стороны 40:
$d_1 = 40 \sqrt{2}$

Для меньшего основания с длиной стороны 24:
$d_2 = 24 \sqrt{2}$

Шаг 3: Расчет диагонали усечённой пирамиды
Диагональ усечённой пирамиды — это расстояние между двумя противоположными углами оснований, с учётом высоты пирамиды. Это не просто разница диагоналей оснований, так как требуется учесть не только размеры квадратов, но и высоту пирамиды.

Поскольку вершины прямых линий между точками на диагоналях одного основания и другим основанием образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, которая и будет диагональю усечённой пирамиды, можно воспользоваться теоремой Пифагора. Расстояние по горизонтали между точками на диагоналях оснований равно разнице диагоналей двух оснований.

То есть, горизонтальное расстояние:
$\Delta d = d_1 - d_2 = 40 \sqrt{2} - 24 \sqrt{2} = (40 - 24) \sqrt{2} = 16 \sqrt{2}$

Теперь вычислим диагональ пирамиды, учитывая высоту. Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, где одна катет — это высота пирамиды, а другой — разница диагоналей:
$D = \sqrt{(\Delta d)^2 + h^2} = \sqrt{(16 \sqrt{2})^2 + 16^2} = \sqrt{(16^2 \cdot 2) + 16^2} = \sqrt{512 + 256} = \sqrt{768}$

Теперь вычислим корень из 768:
$D = \sqrt{768} \approx 27.7$

Ответ: Диагональ усечённой пирамиды примерно равна 27.7.