Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AB² + CD² = BC² + AD².

Чтобы доказать, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то выполняется равенство $AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2$, воспользуемся свойствами перпендикулярных диагонал и разложением длин сторон четырёхугольника.

1. Пусть $P$ — точка пересечения диагонал $AC$ и $BD$. Обозначим длины отрезков, на которые диагонали делят друг друга:

   • $AP = p$, $PC = q$,

   • $BP = r$, $PD = s$.

2. Известно, что диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то есть угол между ними $\angle APB = 90^\circ$.

3. Теперь применим теорему Пифагора в треугольниках, образованных сторонами четырёхугольника и отрезками диагоналей:

   • В треугольнике $ABP$ по теореме Пифагора:

     $$AB^2 = AP^2 + BP^2 = p^2 + r^2.$$

   • В треугольнике $BCP$ по теореме Пифагора:

     $$BC^2 = BP^2 + PC^2 = r^2 + q^2.$$

   • В треугольнике $CDP$ по теореме Пифагора:

     $$CD^2 = CP^2 + DP^2 = q^2 + s^2.$$

   • В треугольнике $DAP$ по теореме Пифагора:

     $$DA^2 = DP^2 + AP^2 = s^2 + p^2.$$

4. Теперь сложим выражения для $AB^2$ и $CD^2$:

   $$AB^2 + CD^2 = (p^2 + r^2) + (q^2 + s^2) = p^2 + q^2 + r^2 + s^2.$$

5. Сложим выражения для $BC^2$ и $DA^2$:

   $$BC^2 + DA^2 = (r^2 + q^2) + (s^2 + p^2) = p^2 + q^2 + r^2 + s^2.$$

6. Мы видим, что $AB^2 + CD^2 = BC^2 + DA^2$, что и требовалось доказать.

Таким образом, если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то выполняется равенство $AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2$.