Треугольник АВС (угол С = 90 градусов), а = 4 см, b = 5 см. Найти медиану, проведённую к гипотенузе.

В треугольнике $ABC$, где угол $C = 90^\circ$, мы знаем, что катеты $a = 4 \, \text{см}$ и $b = 5 \, \text{см}$. Чтобы найти медиану, проведённую к гипотенузе, давайте рассмотрим несколько шагов.

1. Нахождение гипотенузы $c$:
   Поскольку треугольник прямоугольный, можем воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения гипотенузы $c$:

   $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41} \approx 6.4 \, \text{см}.$$

2. Формула для медианы в прямоугольном треугольнике:
   Медиана, проведённая к гипотенузе, в прямоугольном треугольнике имеет особенность — её длина равна половине гипотенузы. То есть:

   $$m_c = \frac{c}{2}.$$

3. Подставляем значение гипотенузы:
   Используем ранее найденное значение гипотенузы:

   $$m_c = \frac{6.4}{2} = 3.2 \, \text{см}.$$

Таким образом, длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна $3.2 \, \text{см}$.